行列とベクトル

行列とベクトルに関する基本的な用語や記号について記しています。

行列
ベクトル
行列の演算
零行列

行列

行列の記号

正の整数m,nに対して、mn個の数\(a_{ij}\)を次のようにｍ行ｎ列の形に並べて配置したものをm行ｎ列の行列という。

\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\cdots \cdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}

ここでiとjは、i=1,…,m;j=1,…,nの正の整数である。

上記の行列は、\((a_{ij})\)とも書かれる。

また、\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\cdots \cdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
と書かれることもある。

ｍ行ｎ列の行列は、m×n行列、またはm×n型の行列ともいう。

型を明示せずに単に行列ともいう。

ｍの事をその行列の行数、ｎの事をその行列の列数という。

ｍ×ｎの事をその行列の型という。

行列を構成しているmn個の数の事をそれぞれその行列の成分という。

i行j列の位置に配置されている数\(a_{ij}\)の事をその行列の(i,j)成分という。

行数と列数が同じ行列のことを正方行列という。

ｎ行ｎ列の行列（ｎ×ｎ行列）をｎ次の正方行列という。

ｎ次の正方行列のｎをその行列の次数という。

行列の成分となる数の事をスカラーという。

通常の線形代数で議論される行列のスカラーは、実数か複素数のいずれかである。

スカラーの集まりをスカラー集合という。

スカラー集合が実数\(R\)であることを強調するために、\(R\)上のベクトル空間という。

スカラー集合が複素数\(C\)であることを強調するためには、\(C\)上のベクトル空間という。

ベクトル

ベクトルの記号

１行または１列の行列をベクトルという。

\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}

括弧の形は、行列の場合と同様に下記のようにカギ括弧を使うこともある。

\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m\end{bmatrix}

１行の行列を行ベクトル、または横ベクトルという。

１列の行列を列ベクトル、または縦ベクトルという。

横ベクトルの場合は、(1,j)成分の事を第j成分もしくは第j座標ともいう。

縦ベクトルの場合は、(i,1)成分の事を第i成分もしくは第i座標ともいう。

列数がｎ列の行ベクトルまたは横ベクトルは、n-ベクトルともいう。

行数がm行の列ベクトルまたは縦ベクトルは、m-ベクトルともいう。

数空間\(R^n\)の点(ベクトル)は、縦ベクトルで表現する。

数空間\(R^n\)は、(数空間としてではなく)\(R\)のn個の直積とみることもできます。直積の元としてみると、\(R^n\)の元は、\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)のように、横ベクトルの形式で書かれます。

線形代数を取り扱っている場合は、慣習的にベクトルを縦ベクトルで表し、横ベクトルでの表現は使いません。

ベクトルは、\(\boldsymbol{a}\)のように、英小文字を太文字にしてよく表します。

幾何ベクトルと数ベクトル

ベクトルを点ではなく、方角と大きさをもった矢印として導入することもよくあります。

このような矢印で表現されるベクトルは、幾何ベクトルとも呼ばれます。

数空間で取り扱うベクトルは、幾何ベクトルと区別するために、数ベクトルとも呼ばれます。

幾何ベクトルは、始点と終点をもち、始点と終点は座標で表します。

原点を始点とする幾何ベクトルは、特に位置ベクトルとも呼ばれます。

数ベクトルは、位置ベクトルに相当するベクトルとも言えます。

幾何ベクトルは数ベクトルとは異なり、横ベクトルで表現することが多いです。

幾何ベクトルは、\(\vec{p}\)や\(\vec{AB}\)のように点を表す記号の上に矢印を書いて表すこともあります。

m×n行列は、m個の行ベクトルで構成されているとみなせます。

\[\left[
\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
\hline a_{21}&a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\hline & & \vdots & \\
\hline a_{m1}&a_{m2}& \cdots & a_{mn}
\end{array}
\right]\]

m×n行列は、n個の列ベクトルで構成されているとみなせます。

\[\left[
\begin{array}{c|c|c|c}
a_{11}&a_{12}& & a_{1n} \\
a_{21}&a_{22}& & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{m1}&a_{m2}& & a_{mn}
\end{array}
\right]\]

m×n行列を横にスライスして、m個のベクトルを得ることができます。こうやって得られたベクトルは行ベクトルという事が多いです(横ベクトルという事は少ない)。

同様に行列を縦にスライスしてベクトルを得ることができます。これらのベクトルは当然列ベクトルと言いますが、縦ベクトルということもよくあります。行ベクトルというと、行列の一部である事が強調されます。縦ベクトルという場合は、行列の一部というより、一般のベクトルと見なしているニュアンスがあります。

行列の演算

行列の比較(等しい)

\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)とする。

行列\(A\)と行列\(B\)が同じの型の行列で、それぞれの成分がすべて等しい場合、すなわち\(a_{ij}=b_{ij}\)の場合に、行列\(A\)と行列\(B\)は等しいといい、次の式で表す。

\[A=B\]

行列の和

\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)とする。

同じ型の行列\(A,B\)に対して行列の和\(A+B\)を次のように定義する。

\[A+B:=(a_{ij}+b_{ij})\]

行列の差

\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)とする。

同じ型の行列\(A,B\)に対して行列の差\(A-B\)を次のように定義する。

\[A-B:=(a_{ij}-b_{ij})\]

行列の型が異なる行列に対して行列の和や差は定義されません。

行列の積

\(A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\)とする。

行列\(A\)の列数、行列\(B\)の行数が同じ\(n\)場合、行列の積\(AB\)を次の式で定義する。

\[\displaystyle AB:=\left( \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \right)\]

行列\(A\)の列数、行列\(B\)の行数が異なる場合、行列の積は定義されません。

二つの行列\(A\)と\(B\)が正方行列の場合は、\(AB\)と\(BA\)が定義されますが、\(AB=BA\)とは限りません。

行列のスカラー積

\(A=(a_{ij}),cをスカラー数)\)とする。

行列\(A\)に対してそのスカラー倍\(cA\)を次の式で定義する。

\[cA:=(ca_{ij})\]

ここでスカラー数とは、行列の成分となる数の事で、具体的には実数または、複素数の事である。

行列のスカラー倍のことを行列のスカラー積ともいう。

零行列

全ての成分が0である行列を零行列という。

零行列は、\(O\)（大文字のO）で表す。

それぞれの行列の型に対して零行列が存在する。

m×n型の零行列は行列の型を明示したい場合に\(O_{m,n}\)と書く。