ベクトル空間の部分空間

ベクトル空間の部分空間について記しています。

ここでは、\(V\)をベクトル空間とする。

部分空間

\(V\)の部分集合\(W\)が、下記の条件１，２，３を満たすとき、\(V\)の部分空間という。

\(W\)は、\(V\)の加法、スカラー倍によってベクトル空間の公理を満たす。

零ベクトルだけからなる\(V\)の部分集合\(\{0\}\)は\(V\)の部分空間である。

部分集合\(\{0\}\)は単に\(0\)と書くこともある。これは、零部分空間とも呼ばれる。

\(V\)自身も\(V\)の部分空間である。

1次結合(線形結合)

\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)を\(V\)の元、\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)をスカラーとする。

\[c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n\]

の事を(\(c_i\)を係数とする)\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)の一次結合または線形結合という。

上記の一次結合は、

\[\sum_{i=1}^n c_iv_i\]

とも書かれる。

\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)を\(V\)の元とし、\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)の一時結合の全体を\(W\)とおくと、\(W\)は\(V\)の部分空間となる。

この\(W\)を、\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)によって張られる部分空間、または生成される部分空間という。

この\(W\)の事を、\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)によって張られる部分空間という。

\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)は、\(W\)を張っている、または生成するという。

零ベクトルによって張られる部分空間は、零部分空間である。

\(R^n\)の基本ベクトル

数空間\(R^n\)において、第i成分だけが１で他の成分が0であるベクトルを\(\boldsymbol{e}_i\)とする。

これらを\(R^n\)の基本ベクトルという。

\(\boldsymbol{e}_1=(1,0,0,\cdots,0)\)
\(\boldsymbol{e}_2=(0,1,0,\cdots,0)\)
\(\cdots \cdots\)
\(\boldsymbol{e}_n=(0,0,0,\cdots,1)\)

基本ベクトルによって張られる\(R^n\)の部分空間は、\(R^n\)と一致する。