数空間\(R^n\)

ベクトルとは、数空間の点の事です。

ここでは、数空間(実数空間)とその元に関する事を記しています。

n次元数空間(n次元実数空間)

集合\(R^n\)を\(n\)次元数空間または\(n\)次元実数空間という。

ここで\(R\)は実数全体の集合を表す。
\(R^n\)は、\(R\)の\(n\)個の直積を表す。

複素数空間という数空間もありますが、単に数空間といえば、実数空間の事をいいます。

n次元数空間の元、点、ベクトル

\(R^n\)の元をn次元数空間の点という。

\(R^n\)の元をn次元数空間のベクトルともいう。

\(R^n\)の元は、n個の実数の組を用いて\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)のように表す。

n次元数空間の例

直線R

\(R^1\)は単に\(R\)ともかき、この集合を直線\(R\)という。
また、1次元数空間ともいう。

直線Rは、1次元数空間、または1次元実数空間ともいう。

平面\(R^2\)

\(R^2\)は\(R×R\)のことで、この集合を平面\(R^2\)という。
また、2次元数空間ともいう。

平面(R^2\)は、２次元数空間、または２次元実数空間ともいう。

空間\(R^3\)

\(R^3\)は\(R×R×R\)のことで、この集合を空間\(R^3\)という。
また、3次元数空間ともいう。

空間\(R^3\)は、3次元数空間、または3次元実数空間ともいう。

4次元空間\(R^4\)

\(R^4\)は\(R×R×R×R\)のことで、この集合を4次元数空間\(R^4\)という。

4次元数空間は、4次元実数空間ともいう。

数直線や、グラフを書く時に使うx-y平面などの概念を一般化したのが数空間です。

一般化することで、３次元数空間、４次元数空間、…、ｎ次元数空間と拡張することができます。

空間の点の概念も一般化されます。

点は、実数の組(座標)として表すことができます。

空間を幾何学的にとらえようとすると、３次元が限界ですが、複数の数の組として考えると４次元、５次元となっても、2次元と同じように考えることができます。