ベクトル空間

数空間の概念を拡張したベクトル空間を定義しています。

ベクトル空間(線形空間)の公理

空でない集合\(V\)上に加法およびスカラー倍が定義されていて、次の法則が満たされているとき、\(V\)をベクトル空間、または線形空間という。

加法についての法則

スカラー倍についての法則

ここで、\(u,v,w\)は\(V\)の任意の元、\(c,c_1,c_2\)は任意のスカラー、\(1\)はスカラーの1である。

\(0\)で表されるベクトルを零ベクトルという。

\(v’\)の元の事を\(v\)の逆元または、逆ベクトルという。

ベクトル空間の元をベクトルと呼ぶ。

ここで定義したベクトルは抽象的な定義です。

つまり、ここで定義したベクトルは、数空間や行列のページで定義したベクトルとは定義が異なります。しかし、文脈を捕えていれば、その定義の違いによる混乱はありません。数ベクトルや行列などの定義はここのベクトルの定義と親和しているからです。

数空間は、ベクトル空間の最も代表的な例です。

逆に、数空間以外にも多数のベクトル空間があります。

有限基底をもつベクトル空間を有限次元ベクトル空間という。

ベクトル空間の例

n-ベクトルの集合

\(u=(x_1,x_2,\cdots,x_n),v=(y_1,y_2,\cdots,y_n) \in R^n,c \in R\)
に対し、

で和とスカラー倍を定義すると、\(R^n\)は、\(R\)上のベクトル空間となる。

ｍ×n行列の集合

mとnを固定すると、m×ｎ行列は、行列の和とスカラー倍によって、ベクトル空間となる。

数列の集合

実数Rを値にとる数列は下記の和とスカラー倍によって、実数R上のベクトル空間となる。